La diferencia en una línea
Escritorio remoto es la tecnología que permite ver y controlar otra computadora por internet. Soporte técnico remoto es el servicio de alguien que usa esa tecnología para diagnosticar y resolver tu problema.
Podés tener escritorio remoto sin soporte (por ejemplo, para conectarte vos mismo a la PC de tu oficina), pero no hay soporte remoto sin alguna forma de escritorio remoto.